• Fungsi

Fungsi dalam istilah matematika merupakan pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.
Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contohnya adalah sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10.
Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut.

${\displaystyle f:A\rightarrow B}$

Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi f yang memetakan dua himpunan, A kepada B. Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan tersebut tidaklah terungkapkan dengan baik. Maka kita dapat menggunakan notasi lain.

${\displaystyle x\in A}$

${\displaystyle f:x\rightarrow x^{2}}$

atau

${\displaystyle f(x)=\,x^{2}}$

• Relasi

Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan ke himpunan lain. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B.

Jika diketahui himpunan A = {Eko, Rina, Tono, Dika}; B = {Merah, Hitam, Biru}, maka relasi "suka dengan warna" himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam diagram panah, diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus.

a. Diagram panah

b. Diagram Cartesius

c. Himpunan pasangan berurutan

R = {(Eko, Merah), (Rina, Hitam), (Tono, Merah), (Dika, Biru)}

Fungsi

Pengertian Fungsi Matematika

Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi dari A ke B jika setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.

Jika f adalah suatu fungsi dari A ke B, maka:

• himpunan A disebut domai (daerah asal).
• himpunan B disebut kodomain (daerah kawan) dan himpunan B yang pasangan (himpunan C) disebut range (hasil) fungsi f.

Aturan yang memasangkan anggota-anggota hhimpunan A dengan anggota-anggota himpunan B disebut aturan fungsi f.

Misal diketahui fungsi-fungsi:

f: A → B  ditentukan dengan notasi f(x).

g: C → D  ditentukan dengan notasi g(x).

Untuk lebih memahami tentang fungsi, pelajarilah contoh soal berikut.

Contoh Soal

Diketahui A + {1, 2, 3, 4} dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Suatu fungsi f: A → B ditentukan oleh f(x) + 2x-1.

a. Gambarlah fungsi f dengan diagram panah.

b. Tentukan range fungsi f.

c. Gambarlah grafik fungsi f.

Penyelesaian 

a. 

Diagram panah fungsi f

b. Dari diagram diatas, terlihat bahwa:

f(x) = 2x-2

f(1) = 2.2-1 = 1

f(2) = 2.2-1 =3

f(3) = 2.3-1 = 5

f(4) = 2.4-1 = 7

• .

  ^{Misalkan kit}a memiliki fungsi f⁽x) = 2x + 3 dengan domainnya adalah bilangan r^eal, dan ^g(x) = √(x – 1) dengan domain x ≥ 1 untuk x bilangan real. Fungsi komposisi g ○ f dapat digambarkan sebagai berikut.

  

  Mula-mula x merupakan anggota domain ^f yang selanjutnya dipetakan oleh f ^{ke bayangan} x, yaitu f(x). Dari ^f(x) dipetakan kembali oleh ^g ke g(f(x)). Dengan demikian fungsi komposisi g ○ f adalah pemetaan x anggota domain f oleh fungsi f, selanjutnya bayangannya dipetakan kembali oleh g. Uraian tersebut memperjelas definisi dari fungsi komposisi berikut.

  2. Fungsi g: R → R ditentukan oleh g(x) = x² – 3x + 1 dan f: R → R sehingga (f o g)(x) = 2x² – 6x – 1
  

  maka f(x) = ….

  Penyelesaian :

  (f o g)(x)            = 2x² – 6x – 1
  

   f (g(x))             = 2x² – 6x – 1

   f ( x² – 3x + 1)  = 2x² – 6x – 1

                             = 2 ( x² – 3x + 1 ) – 3

  Jadi       f (x)      = 2x – 3

  3. Jika f(x) = x² + 3x dan g(x) = x – 12, maka nilai (f o g)(8) adalah ….
  

  Penyelesaian :

   g(8) = 8 – 12 = – 4

  jadi (f o g) (8) = f(g(8)) = f(-4) = (-4)² + 3(-4) = 16 – 12 = 4

  4. Diketahui (f o g)(x) = x² + 3x + 4 dan g(x) = 4x – 5. Nilai dari f(3) adalah ….
  

  Penyelesaian :

  (f o g)(x)     = x² + 3x + 4

  f (g(x))        =  x² + 3x + 4

  ^{Untuk    g(x)    = 3              maka}

             4x – 5   = 3

                     4x = 8

                      x = 2

  ^{Karena  f (g(x))  =  x2} + 3x + 4   dan  untuk g(x) = 3 didapat x = 2

  ^{Sehingga :}

  f (3) =  2^{2 + 3 . 2 + 4   =   4 + 6 + 4   =   14}

  INVERS FUNGSI KOMPOSISI

  Misalnya diketahui  fungsi f : A  ^{B dan g : B}  C. Jika h adalah fungsi komposisi dari f atau g . dengan  ^{maka invers  fungsi h adalah}  dengan  jadi jika  ^maka 
  jadi      g(x) = x² + 3x – 5
  2 (g(x))       =  2x² + 6x –10
   ^{2(g(x)) + 3 = 2x2} + 6x – 7
      ^{f(g(x))     =  2x2} + 6x – 7
  ^{(f o g)(x)     = 2x2 + 6x – 7}
   Penyelesaian :
  1. Jika f(x) = 2x + 3 dan (f o g) = 2x² + 6x – 7, maka g(x) = …
  Perhatikan contoh berikut :
  Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi f dan fungsi g dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi g ○ f adalah irisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan himpunan kosong.
  ^{Diketahui f dan g dua fungsi sembar}ang, maka fungsi komposisi f dan g ditulis g ○ f didefinisikan sebagai (g ○ f)(x) = g(f(x)) untuk setiap x anggota domain f.

• Invers Fungsi

Penjelasan dan Definisi Fungsi Invers

         Berdasarkan Gambar di atas , kita peroleh beberapa hal atau informasi yaitu :
*). Pertama,
       fungsi f$f$ memetakan x∈A$x\in A$ ke y∈B$y\in B$ . Jika fungsi f$f$ dinyatakan ke dalam bentuk pasangan berurutan, maka dapat ditulis sebagai berikut. f={(x,y)|x∈A dan y∈B}$f=\{(x,y)|x\in A\text{ dan }y\in B\}$ . Pasangan berurut (x,y)$(x,y)$ merupakan unsur dari fungsi f$f$ .
*). Kedua,
       invers fungsi f$f$ atau f−1$f^{-1}$ memetakan y∈B$y\in B$ ke x∈A$x\in A$ . Jika invers fungsi f$f$ dinyatakan ke dalam pasangan berurutan, maka dapat ditulis f−1={(y,x)|y∈B dan x∈A}$f^{-1}=\{(y,x)|y\in B\text{ dan }x\in A\}$ . Pasangan berurut (y,x)$(y,x)$ merupakan unsur dari invers fungsi f$f$ .

Definisi Fungsi invers

       Jika fungsi f$f$ memetakan A ke B dan dinyatakan dalam pasangan berurutan f={(x,y)|x∈A dan y∈B}$f=\{(x,y)|x\in A\text{ dan }y\in B\}$ , maka invers fungsi f$f$ (dilambangkan f−1$f^{-1}$ ) adalah relasi yang memetakan B ke A, dalam pasangan berurutan dinyatakan dengan f−1={(y,x)|y∈B dan x∈A}$f^{-1}=\{(y,x)|y\in B\text{ dan }x\in A\}$ .

Dapat ditulis: jika y=f(x),$y=f(x),$ maka inversnya x=f−1(y)$x=f^{-1}(y)$

Cara menentukan fungsi invers dari fungsi awalnya

       Suatu fungsi f$f$ akan mempunyai invers, yaitu f−1$f^{-1}$ jika dan hanya jika fungsi f$f$ bijektif atau dalam korespondensi satu-satu. Misalkan, f$f$ merupakan fungsi dari A ke B, maka f−1$f^{-1}$ merupakan fungsi invers f$f$ jika berlaku (f−1∘f)(x)=x$(f^{-1}\circ f)(x)=x$ dan (f∘f−1)(x)=x$(f\circ f^{-1})(x)=x$ . Perhatikanlah gambar di bawah ini.

Langkah-langkah menentukan fungsi invers:
1. Buatlah permisalan f(x)=y$f(x)=y$ pada persamaan.
2. Selesaikan persamaan sehingga diperoleh x$x$ sebagai fungsi y$y$ atau x=f−1(y)$x=f^{-1}(y)$ .
3. Ganti variabel y$y$ dengan x$x$ pada f−1(y)$f^{-1}(y)$ sehingga diperoleh f−1(x)=y$f^{-1}(x)=y$ sebagai fungsi invers dari y=f(x)$y=f(x)$ .

Contoh
1). Jika diketahui f(x)=2x+3,$f(x)=2x+3,$ tentukan inversnya dan nilai f−1(1)$f^{-1}(1)$ !
Penyelesaian :
Misalkan f(x)=y$f(x)=y$ dan rubahlah kedalam bentuk x=f−1(y)$x=f^{-1}(y)$
f(x)2x+32xxberdasarkan xdiperoleh f−1(y)=y=y=y−3=y−32=f−1(y)=y−32$\begin{array}{rl}f(x)& =y\\ 2x+3& =y\\ 2x& =y-3\\ x& =\frac{y-3}{2}\\ \text{berdasarkan }x& =f^{-1}(y)\\ \text{diperoleh }{f}^{-1}(y)& =\frac{y-3}{2}\end{array}$
Gantilah variabel y$y$ dengan x$x$ , artinya f−1(x)=x−32$f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}$
Jadi, invers dari fungsi f(x)=2x+3,$f(x)=2x+3,$ adalah f−1(x)=x−32$f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}$
*). Menentukan nilai f−1(1)$f^{-1}(1)$
f−1(x)=x−32→f−1(1)=1−32=−22=−1$f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}\to f^{-1}(1)=\frac{1-3}{2}=\frac{-2}{2}=-1$
Jadi, diperoleh nilai f−1(1)=−1$f^{-1}(1)=-1$

2). Diketahui fungsi g(x)=3x−12x+5$g(x)=\frac{3x-1}{2x+5}$ , tentukanlah inversnya.!
Penyelesaian :
Misalkan g(x)=y$g(x)=y$ dan rubahlah kedalam bentuk x=g−1(y)$x=g^{-1}(y)$
g(x)yy(2x+5)2xy+5y2xy−3xx(2y−3)xberdasarkan xdiperoleh f−1(y)=3x−12x+5=3x−12x+5=3x−1=3x−1=−5y−1=−5y−1=−5y−12y−3=f−1(y)=−5y−12y−3$\begin{array}{rl}g(x)& =\frac{3x-1}{2x+5}\\ y& =\frac{3x-1}{2x+5}\\ y(2x+5)& =3x-1\\ 2xy+5y& =3x-1\\ 2xy-3x& =-5y-1\\ x(2y-3)& =-5y-1\\ x& =\frac{-5y-1}{2y-3}\\ \text{berdasarkan }x& =f^{-1}(y)\\ \text{diperoleh }{f}^{-1}(y)& =\frac{-5y-1}{2y-3}\end{array}$
Gantilah variabel y$y$ dengan x$x$ , artinya f−1(x)=−5x−12x−3$f^{-1}(x)=\frac{-5x-1}{2x-3}$
Jadi, invers dari fungsi f(x)=3x−12x+5,$f(x)=\frac{3x-1}{2x+5},$ adalah f−1(x)=−5x−12x−3$f^{-1}(x)=\frac{-5x-1}{2x-3}$
Cara II : f(x)=ax+bcx+d→f−1(x)=dx−b−cx+a$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\to f^{-1}(x)=\frac{dx-b}{-cx+a}$
g(x)=3x−12x+5→g−1(x)=5x+1−2x+3$g(x)=\frac{3x-1}{2x+5}\to g^{-1}(x)=\frac{5x+1}{-2x+3}$
g−1(x)=5x+1−2x+3×−1−1=−5x−12x−3$g^{-1}(x)=\frac{5x+1}{-2x+3}\times \frac{-1}{-1}=\frac{-5x-1}{2x-3}$
Jadi, invers dari fungsi f(x)=3x−12x+5,$f(x)=\frac{3x-1}{2x+5},$ adalah f−1(x)=−5x−12x−3$f^{-1}(x)=\frac{-5x-1}{2x-3}$

3). Diketahui f(x)=5x−3.$f(x)=5x-3.$ Jika f−1(a)=2,$f^{-1}(a)=2,$ maka nilai a+5=....$a+5=....$
Penyelesaian :
Menentukan inversnya
f(x)y5xxf−1(x)f−1(a)=5x−3=5x−3=y+3=y+35=x+35=a+35$\begin{array}{rl}f(x)& =5x-3\\ y& =5x-3\\ 5x& =y+3\\ x& =\frac{y+3}{5}\\ f^{-1}(x)& =\frac{x+3}{5}\\ f^{-1}(a)& =\frac{a+3}{5}\end{array}$
Menenukan nilai a$a$
f−1(a)a+35a+3a=2=2=10=7$\begin{array}{rl}{f}^{-1}(a)& =2\\ \frac{a+3}{5}& =2\\ a+3& =10\\ a& =7\end{array}$
Sehingga nilai a+5=7+5=12$a+5=7+5=12$

4). Diketahui fungsi f(x)=2x+1.$f(x)=2x+1.$ Apakah fungsi g(x)=x−12$g(x)=\frac{x-1}{2}$ merupakan invers dari fungsi f(x)$f(x)$ ?
Penyelesaian :
*). Dua fungsi dikatakan salaing invers jika dikomposisikan menghasilkan fungsi identitas (I(x)=x$I(x)=x$ ).
*). Agar fungsi g(x)$g(x)$ merupakan invers dari fungsi f(x)$f(x)$ , maka harus terpenuhi (f∘g)(x)=x$(f\circ g)(x)=x$ atau (g∘f)(x)=x.$(g\circ f)(x)=x.$ Cukup cek salah satu saja.
*). cek fungsi komposisinya :
(f∘g)(x)=f(g(x))=f(x−12)=2(x−12)+1=(x−1)+1=x$\begin{array}{rl}(f\circ g)(x)& =f(g(x))\\ & =f\left(\frac{x-1}{2}\right)\\ & =2\left(\frac{x-1}{2}\right)+1\\ & =(x-1)+1\\ & =x\end{array}$
Karena diperoleh (f∘g)(x)=x,$(f\circ g)(x)=x,$ maka terbukti bahwa fungsi g(x)$g(x)$ adalah invers dari fungsi f(x)$f(x)$

Sifat-sifat Fungsi invers

       Beberapa sifat fungsi invers :
1). (f−1(x))−1=f(x)$(f^{-1}(x){)}^{-1}=f(x)$ ,
(fungsi invers di invers lagi, maka hasilnya kembali ke awal)
2). (f∘f−1)(x)=(f−1∘f)(x)=I(x)=x$(f\circ f^{-1})(x)=(f^{-1}\circ f)(x)=I(x)=x$
(fungsi awal di invers dengan dirinya sendiri atau kebalikannya menghasilkan fungsi identitas yaitu I(x)=x$I(x)=x$

Penjelasan definisi invers :
Definisi : y=f(x)→f−1(y)=x$y=f(x)\to f^{-1}(y)=x$ , artinya ketika fungsinya (f$f$ ) pindah ruas (dari kanan ke kiri atau dari kiri ke kanan), maka fungsi tersebut diberikan invers. misalkan :
f(A)=B→A=f−1(B)$f(A)=B\to A=f^{-1}(B)$
A=f−1(B)→(f−1)−1(A)=B→f(A)=B$A=f^{-1}(B)\to (f^{-1}{)}^{-1}(A)=B\to f(A)=B$

Contoh
1). Diketahui fungsi f(x)=2x−1$f(x)=2x-1$
a). Tentukan f−1(x)$f^{-1}(x)$
b). Tentukan (f−1(x))−1$(f^{-1}(x){)}^{-1}$
c). Tentukan (f∘f−1)(x)$(f\circ f^{-1})(x)$
d). Tentukan (f−1∘f)(x)$(f^{-1}\circ f)(x)$
Penyelesaian :
a). Menentukan f−1(x)$f^{-1}(x)$
f(x)y2xxf−1(y)=2x−1=2x−1=y+1=y+12=y+12$\begin{array}{rl}f(x)& =2x-1\\ y& =2x-1\\ 2x& =y+1\\ x& =\frac{y+1}{2}\\ f^{-1}(y)& =\frac{y+1}{2}\end{array}$
sehingga inversnya : f−1(x)=x+12$f^{-1}(x)=\frac{x+1}{2}$
b). Menentukan invers dari f−1(x)=x+12$f^{-1}(x)=\frac{x+1}{2}$
f−1(x)y2yxf−1(y)=x+12=x+12=x+1=2y−1=2y−1$\begin{array}{rl}{f}^{-1}(x)& =\frac{x+1}{2}\\ y& =\frac{x+1}{2}\\ 2y& =x+1\\ x& =2y-1\\ f^{-1}(y)& =2y-1\end{array}$
invers dari f−1(x)$f^{-1}(x)$ adalah (f−1(x))−1=2x−1,$(f^{-1}(x){)}^{-1}=2x-1,$ yang sama dengan (f−1(x))−1=f(x),$(f^{-1}(x){)}^{-1}=f(x),$ ini sesuai dengan sifat invers.
c). Menentukan (f∘f−1)(x)$(f\circ f^{-1})(x)$
(f∘f−1)(x)=f(f−1(x))=f(x+12)=2(x+12)−1=(x+1)−1=x$\begin{array}{rl}(f\circ f^{-1})(x)& =f(f^{-1}(x))\\ & =f(\frac{x+1}{2})\\ & =2\left(\frac{x+1}{2}\right)-1\\ & =(x+1)-1\\ & =x\end{array}$
Diperoleh : (f∘f−1)(x)=x$(f\circ f^{-1})(x)=x$
d). Menentukan (f−1∘f)(x)$(f^{-1}\circ f)(x)$
(f−1∘f)(x)=f−1(f(x))=f−1(2x−1)=(2x−1)+12=2x2=x$\begin{array}{rl}(f^{-1}\circ f)(x)& =f^{-1}(f(x))\\ & =f^{-1}(2x-1)\\ & =\frac{(2x-1)+1}{2}\\ & =\frac{2x}{2}\\ & =x\end{array}$
Diperoleh : (f−1∘f)(x)=x$(f^{-1}\circ f)(x)=x$
Dari hasil c) dan d) terlihat bahwa (f∘f−1)(x)=(f−1∘f)(x)=x,$(f\circ f^{-1})(x)=(f^{-1}\circ f)(x)=x,$ yang sesuai dengan sifat invers.

2). Diketahui fungsi f(x−2)=3x+5$f(x-2)=3x+5$ . Jika f−1(a)=−1,$f^{-1}(a)=-1,$ maka tentukan nilai a2−4$a^2-4$ !
Penyelesaian :
Cara I : Menentukan inversnya terlebih dahulu
Misalkan p=x−2→x=p+2,$p=x-2\to x=p+2,$ substitusi ke fungsinya
f(x−2)f(p)f(p)=3x+5=3(p+2)+5=3p+11$\begin{array}{rl}f(x-2)& =3x+5\\ f(p)& =3(p+2)+5\\ f(p)& =3p+11\end{array}$
sehingga, f(x)=3x+11$f(x)=3x+11$
*). Menentukan inversnya :
f(x)y3xx=3x+11=3x+11=y−11=y−113$\begin{array}{rl}f(x)& =3x+11\\ y& =3x+11\\ 3x& =y-11\\ x& =\frac{y-11}{3}\end{array}$
sehingga inversnya : f−1(x)=x−113$f^{-1}(x)=\frac{x-11}{3}$
*). Menentukan nilai a$a$
f−1(x)f−1(a)a−113a−11a=x−113=−1=−1=−3=11−3=8$\begin{array}{rl}{f}^{-1}(x)& =\frac{x-11}{3}\\ f^{-1}(a)& =-1\\ \frac{a-11}{3}& =-1\\ a-11& =-3\\ a& =11-3=8\end{array}$
diperoleh nilai a=8$a=8$ ,
sehingga nilai a2−4=82−4=64−4=60$a^2-4=8^2-4=64-4=60$
Jadi, nilai a2−4=60$a^2-4=60$

Cara II : Tanpa mencari inversnya.
*). Gunakan definisi invers : A=f(B)→f−1(A)=B$A=f(B)\to f^{-1}(A)=B$
f(x−2)=3x+5→x−2=f−1(3x+5)$f(x-2)=3x+5\to x-2=f^{-1}(3x+5)$ atau f−1(3x+5)=x−2$f^{-1}(3x+5)=x-2$
*). Menyamakan bentuk yang diketahui dan yang ditanya.
f−1(3x+5)f−1(a)=x−2=−1$\begin{array}{rl}{f}^{-1}(3x+5)& =x-2\\ f^{-1}(a)& =-1\end{array}$
Ruas kanan sama dengan ruas kanan dan ruas kiri sama juga dengan ruas kiri
Diperoleh : x−2=−1$x-2=-1$ dan a=3x+5$a=3x+5$
x−2=−1→x=1$x-2=-1\to x=1$
Substitusi nilai x=1$x=1$ ke persamaan kedua
x=1→a=3x+5=3.1+5=8$x=1\to a=3x+5=3.1+5=8$
sehingga nilai a2−4=82−4=64−4=60$a^2-4=8^2-4=64-4=60$
Jadi, nilai a2−4=60$a^2-4=60$

3). Diketahui fungsi invers f−1(3x−1)=x2−82−x.$f^{-1}\left(\frac{3}{x-1}\right)=\frac{x^2-8}{2-x}.$ Jika f(a)=−3,$f(a)=-3,$ maka tentukan nilai a+1$a+1$ !
Penyelesaian : Tanpa mencari invernya,
Definisi : A=f(B)→f−1(A)=B$A=f(B)\to f^{-1}(A)=B$
sehingga f(a)=−3→a=f−1(−3)$f(a)=-3\to a=f^{-1}(-3)$ atau f−1(−3)=a$f-1(-3)=a$
Menyamakan bentuknya :
f−1(3x−1)f−1(−3)=x2−82−x=a$\begin{array}{rl}{f}^{-1}\left(\frac{3}{x-1}\right)& =\frac{x^2-8}{2-x}\\ f^{-1}(-3)& =a\end{array}$
Diperoleh kesamaan : 3x−1=−3$\frac{3}{x-1}=-3$ dan a=x2−82−x$a=\frac{x^2-8}{2-x}$
3x−1=−3→x−1=−1→x=0$\frac{3}{x-1}=-3\to x-1=-1\to x=0$
Substitusi nilai x=0$x=0$ ke persamaan kedua,
a=x2−82−x=02−82−0=−82=−4$a=\frac{x^2-8}{2-x}=\frac{0^2-8}{2-0}=\frac{-8}{2}=-4$
diperoleh nilai a=−4$a=-4$
Sehingga nilai a+1=−4+1=−3$a+1=-4+1=-3$
Jadi, nilai a+1=−3$a+1=-3$
Catatan : yang diubah menggunakan definisi invers boleh fungsi yang diketahui atau fungsi yang ditanyakan seperti soal nomor 2 dan nomor 3.

Invers dari fungsi komposisi

       Dari gambar diagram di atas f:A→B,g:B→C$f:A\to B,g:B\to C$ , dengan f$f$ dan g$g$ berkorespondensi satu-satu sedermikian sehingga h=g∘f$h=g\circ f$ , maka h−1=f−1∘g−1$h^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$ . Dalam hal ini (g∘f)−1=h−1$(g\circ f{)}^{-1}=h^{-1}$ disebut fungsi invers dari fungsi komposisi, sehingga diperoleh sifat- sifat berikut ini.

(g∘f)−1(x)=(f−1∘g−1)(x)$(g\circ f{)}^{-1}(x)=(f^{-1}\circ g^{-1})(x)$ dan (f∘g)−1(x)=(g−1∘f−1)(x)$(f\circ g{)}^{-1}(x)=(g^{-1}\circ f^{-1})(x)$

Contoh
1). Diketahui fungsi f(x)=3x+5$f(x)=3x+5$ dan g(x)=x−1$g(x)=x-1$ . Tentukanlah (g∘f)−1(x)$(g\circ f{)}^{-1}(x)$
Penyelesaian :
*). Menentukan fungsi komposisinya
(g∘f)(x)=g(f(x))=g(3x+5)=(3x+5)−1=3x+4$\begin{array}{rl}(g\circ f)(x)& =g(f(x))\\ & =g(3x+5)\\ & =(3x+5)-1\\ & =3x+4\end{array}$
*). Menentukan inversnya
misalkan y=(g∘f)(x)$y=(g\circ f)(x)$
(g∘f)(x)y3xxf−1(y)=3x+4=3x+4=y−4=y−43=y−43$\begin{array}{rl}(g\circ f)(x)& =3x+4\\ y& =3x+4\\ 3x& =y-4\\ x& =\frac{y-4}{3}\\ f^{-1}(y)& =\frac{y-4}{3}\end{array}$
Jadi, inversnya (g∘f)−1(x)=x−43$(g\circ f{)}^{-1}(x)=\frac{x-4}{3}$

2). Diketahui fungsi f−1(x)=2−x$f^{-1}(x)=2-x$ dan g−1(x)=xx−1.$g^{-1}(x)=\frac{x}{x-1}.$ Tentukan (f∘g)−1(x)$(f\circ g{)}^{-1}(x)$ !
Penyelesaian :
*). Kita langsung menggunakan sifat invers fungsi komposisi
(f∘g)−1(x)=(g−1∘f−1)(x)=g−1(f−1(x))=g−1(2−x)=(2−x)(2−x)−1=2−x1−x$\begin{array}{rl}(f\circ g{)}^{-1}(x)& =(g^{-1}\circ f^{-1})(x)\\ & =g^{-1}(f^{-1}(x))\\ & =g^{-1}(2-x)\\ & =\frac{(2-x)}{(2-x)-1}\\ & =\frac{2-x}{1-x}\end{array}$
Jadi, diperoleh (f∘g)−1(x)=2−x1−x$(f\circ g{)}^{-1}(x)=\frac{2-x}{1-x}$

Menggambar Grafik Fungsi Invers dan Grafik Fungsi Asalnya

       Grafik fungsi invers (f−1(x)$f^{-1}(x)$ ) diperoleh dengan cara mencerminkan grafik fungsi awal (f(x)$f(x)$ ) terhadap garis y=x$y=x$ , begitu juga sebaliknya, untuk mencari grafik fungsi asalnya (f(x)$f(x)$ ) diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi invers (f−1(x)$f^{-1}(x)$ ) terhadap garis y=x$y=x$

Contoh
Diketahui fungsi f(x)=2x−1,$f(x)=2x-1,$ gambarlah grafik f(x)$f(x)$ dan f−1(x)$f^{-1}(x)$ !
Penyelesaian :
*). Menentukan invers fungsi
f(x)y2xx=2x−1=2x−1=y+1=y+12$\begin{array}{rl}f(x)& =2x-1\\ y& =2x-1\\ 2x& =y+1\\ x& =\frac{y+1}{2}\end{array}$
Sehingga, inversnya f−1(x)=x+12$f^{-1}(x)=\frac{x+1}{2}$

*). Dari grafik di atas, garis warna biru adalah grafik fungsi f(x)=2x−1,$f(x)=2x-1,$ garis warna hijau adalah grafik fungsi f−1(x)=x+12$f^{-1}(x)=\frac{x+1}{2}$ dan garis warna merah adalah grafik garis y=x$y=x$
*). Dari grafik di atas, terlihat bahwa grafik f−1(x)=x+12$f^{-1}(x)=\frac{x+1}{2}$ (warna hijau) adalah pencerminan dari grafik f(x)=2x−1$f(x)=2x-1$ (warna biru) terhadap garis y=x$y=x$ (warna merah).